[확률 및 통계] 3. 조건부 확률과 독립성

확률 및 통계 기초 이해하기: 조건부 확률과 독립성

 

확률과 통계는 다양한 분야에서 활용되는 중요한 도구입니다. 이번 글에서는 조건부 확률과 독립성에 대해 알아보겠습니다. 조건부 확률의 정의와 예제를 통해 기본 개념을 이해하고, 두 사건의 독립성과 종속성에 대해 살펴보겠습니다.

 

 

1. 조건부 확률

조건부 확률은 어떤 사건이 일어났다는 조건하에 다른 사건이 일어날 확률을 의미합니다. 이는 사건들이 서로 관련이 있는 경우에 중요한 개념입니다.

 

조건부 확률의 정의

사건 B가 주어졌을 때, 사건 A의 조건부 확률은 다음과 같이 정의됩니다.

​

여기서, P(A∩B)는 A와 B가 동시에 일어날 확률이며, P(B)는 사건 B가 일어날 확률입니다. 단, P(B) > 0이어야 합니다.

예제: 조건부 확률

한 기업에서 임직원들을 대상으로 건강 검진을 실시했습니다. 전체 임직원 중 20%가 고혈압을 가지고 있으며, 이 중 비만인 사람의 비율은 50%라고 가정합니다. 비만인 임직원이 고혈압일 확률을 구해보겠습니다.

• 사건 A: 임직원이 고혈압인 경우
• 사건 B: 임직원이 비만인 경우

 

조건부 확률 공식에 따라 P(A∩B)를 먼저 구합니다.

 

이제, P(B)를 구해야 합니다. 임직원 중 비만인 비율 P(B)는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

여기서 P(B|A^c)는 고혈압이 아닌 사람이 비만일 확률입니다. 예를 들어, 고혈압이 아닌 임직원 중 15%가 비만이라고 가정하면

 

따라서,

 

이제, 비만인 임직원이 고혈압일 확률 P(A∣B)를 구합니다.

 

따라서, 비만인 임직원이 고혈압일 확률은 약 45.45%입니다.

 

 

2. 독립성

독립성은 두 사건이 서로 영향을 미치지 않는 경우를 의미합니다. 즉, 한 사건의 발생이 다른 사건의 발생 확률에 아무런 영향을 미치지 않을 때 두 사건은 독립적이라고 합니다.

 

두 사건의 독립

두 사건 A와 B가 독립적이라는 것은 다음과 같은 조건을 만족하는 경우입니다.

예제: 두 사건의 독립

주사위를 두 번 던지는 경우를 생각해봅시다. 첫 번째 주사위가 3이 나오는 사건 A와 두 번째 주사위가 5가 나오는 사건 B가 독립적인지 확인해보겠습니다.

 

두 사건의 교집합 확률 P(A∩B)는 다음과 같이 계산됩니다.

​

 

따라서, 첫 번째 주사위가 3이 나오고 두 번째 주사위가 5가 나올 확률은 1/36로, 두 사건은 독립적입니다.

 

 

종속성

두 사건 A와 B가 독립적이지 않은 경우, 즉 한 사건이 다른 사건의 발생에 영향을 미치는 경우를 종속적이라고 합니다.

예제: 종속성

카드 덱에서 카드를 두 번 연속으로 뽑는 경우를 생각해봅시다. 첫 번째 카드가 에이스일 때, 두 번째 카드가 에이스일 확률을 구해보겠습니다. 여기서는 첫 번째 카드가 다시 덱에 넣어지지 않는다고 가정합니다.

• 사건 A: 첫 번째 카드가 에이스일 확률

 

• 사건 B: 두 번째 카드가 에이스일 확률 (첫 번째 카드를 뽑은 후)

 

 

두 사건의 교집합 확률 P(A∩B)는 다음과 같이 계산됩니다.

​

따라서, 첫 번째 카드가 에이스일 때 두 번째 카드가 에이스일 확률은 1/221​로, 두 사건은 종속적입니다.

 

 

마무리

조건부 확률과 독립성은 확률 이론에서 중요한 개념입니다. 조건부 확률을 통해 사건이 특정 조건하에서 일어날 확률을 계산하고, 두 사건의 독립성과 종속성을 이해함으로써 사건 간의 관계를 분석할 수 있습니다. 이러한 기초 개념을 탄탄히 다지면 더 복잡한 확률 문제도 쉽게 접근할 수 있습니다.

 

궁금한 점이 있거나 추가 설명이 필요한 부분이 있다면 댓글로 남겨주세요! 함께 학습해 나갑시다.