[기계학습] 2. 기계학습의 수학적 기초

기계학습의 수학적 기초 (1)

기계학습은 데이터를 통해 학습하고 예측하는 과정을 수학적으로 모델링하는 기술입니다. 기계학습의 수학적 기초는 데이터의 표현, 선형대수, 확률과 통계, 최적화 이론 등을 포함합니다. 이번 글에서는 기계학습과 수학, 데이터의 표현, 선형대수에 대해 알아보겠습니다.

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기계학습과 수학

기계학습의 핵심은 데이터를 수학적으로 분석하고, 이를 바탕으로 예측 모델을 만드는 것입니다. 이를 위해 다양한 수학적 기초가 필요합니다.

• 선형대수 : 데이터의 표현과 변환을 이해하고, 기계학습 알고리즘을 구현하는 데 사용됩니다.
• 확률과 통계 : 데이터의 분포와 불확실성을 이해하고, 모델의 성능을 평가하는 데 사용됩니다.
• 최적화 이론 : 모델의 성능을 최적화하기 위해 비용 함수(cost function)를 최소화하는 방법을 제공합니다.

기계학습의 다양한 알고리즘과 기법들은 이러한 수학적 기초 위에 구축됩니다.

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데이터의 표현

기계학습에서 데이터는 수학적으로 표현되어야 합니다. 일반적으로 데이터는 벡터와 행렬 형태로 표현됩니다.

 

스칼라

• 하나의 숫자 값
• 예 : x = 5

 

벡터

• 숫자들의 일차원 배열
• 예 :

 

행렬

• 숫자들의 이차원 배열

 

• 예 :

 

텐서

• 숫자들의 다차원 배열
• 예 : 3차원 텐서

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선형대수

선형대수는 벡터와 행렬을 다루는 수학 분야로, 기계학습에서 중요한 역할을 합니다. 주요 개념은 다음과 같습니다.

 

벡터와 행렬 연산

• 벡터 덧셈 : 

 

• 스칼라 곱 : 

 

• 행렬 곱 : 

 

선형 변환

• 행렬을 사용하여 벡터를 다른 벡터로 변환하는 것
• 예 : y = Ax

 

행렬의 특성

• 전치 행렬 () : 행과 열을 바꾼 행렬
• 역행렬 () : 를 만족하는 행렬
• 행렬식 ( det⁡(A) ) : 행렬의 크기를 나타내는 값

 

특이값 분해 (SVD)

• 행렬을 세 개의 행렬로 분해하는 방법
• 
• 기계학습에서 차원 축소와 데이터 압축에 사용

 

고유값과 고유벡터

• Ax = λx를 만족하는 값 λ와 벡터 x
• 데이터의 특성을 분석하고, 주성분 분석(PCA) 등에서 사용

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기계학습의 수학적 기초 (2)

이어서 기계학습의 수학적 기초의 두 번째 부분에서는 데이터의 분포, 확률과 통계, 최적화 이론에 대해 알아보겠습니다.

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데이터의 분포

기계학습에서 데이터의 분포는 모델의 학습과 성능에 큰 영향을 미칩니다. 주요 데이터 분포는 다음과 같습니다.

 

정규 분포 (Normal Distribution)

• 종형 곡선을 그리며, 평균과 표준 편차로 정의
• 많은 자연 현상에서 나타나는 분포

 

균등 분포 (Uniform Distribution)

• 모든 값이 동일한 확률을 가지는 분포

 

이항 분포 (Binomial Distribution)

• 이진 결과(성공/실패)가 있는 실험에서 성공 횟수를 나타내는 분포

 

포아송 분포 (Poisson Distribution)

• 단위 시간 또는 공간에서 사건이 발생하는 횟수를 나타내는 분포

이 외에도 다양한 분포들이 있으며, 데이터의 특성에 따라 적절한 분포를 가정하고 모델링할 수 있습니다.

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확률과 통계

확률과 통계는 데이터 분석과 모델 평가에 필수적인 도구입니다.

 

확률

• 사건의 발생 가능성을 수학적으로 나타내는 값
• 예 : P(A) = A가 발생한 횟수 / 전체 실험 횟수​

 

조건부 확률

• 다른 사건이 발생한 조건에서의 사건 발생 확률
• 

 

통계적 추론

• 표본 데이터를 사용하여 모집단의 특성을 추론하는 과정
• 평균 (μ) : 데이터의 중심값
• 분산 () : 데이터의 흩어짐 정도
• 표준 편차 (σ) : 분산의 제곱근

 

가설 검정

• 통계적 방법을 사용하여 가설을 검증하는 과정
• 귀무 가설 () : 차이가 없다는 가설
• 대립 가설 () : 차이가 있다는 가설

 

 

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최적화 이론

최적화 이론은 기계학습 모델의 성능을 향상시키기 위해 비용 함수를 최소화하는 방법을 제공합니다.

 

비용 함수 (Cost Function)

• 모델의 예측과 실제 값 사이의 차이를 나타내는 함수
• 예 : 평균 제곱 오차 (MSE), 교차 엔트로피 손실

 

경사 하강법 (Gradient Descent)

• 비용 함수를 최소화하기 위해 반복적으로 파라미터를 업데이트하는 최적화 알고리즘
• θ = θ − η∇J(θ)
• 학습률 (η) : 파라미터 업데이트 크기를 조절

 

변형된 경사 하강법

• 확률적 경사 하강법 (SGD) : 무작위로 선택한 데이터 포인트에 대해 비용 함수를 최소화
• 미니배치 경사 하강법 : 작은 배치 단위로 데이터 포인트를 선택하여 비용 함수를 최소화

 

고급 최적화 알고리즘

• 모멘텀 : 이전 업데이트의 방향을 고려하여 파라미터를 업데이트
• Adam : 학습률을 적응적으로 조정하여 경사 하강법을 최적화

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이 글에서는 기계학습의 수학적 기초에 대해 알아보았습니다. 기계학습과 수학, 데이터의 표현, 선형대수, 데이터의 분포, 확률과 통계, 최적화 이론을 이해함으로써 기계학습 알고리즘을 더 깊이 이해하고, 효과적으로 적용할 수 있습니다. 이러한 수학적 기초는 기계학습의 성능을 향상시키고, 모델을 더 정확하게 평가하는 데 중요한 역할을 합니다.