[확률 및 통계] 9. 확률 과정 및 시계열 분석 (심화)

확률 과정과 시계열 분석: 심화 이해와 실용적인 예시

확률과 통계의 기본을 넘어, 복잡한 데이터 패턴과 동향을 예측하고 분석하는 데 필수적인 확률 과정과 시계열 분석에 대해 깊이 알아보겠습니다. 이번 글에서는 마르코프 체인, 푸아송 과정, 그리고 시계열 분석의 자기회귀 모델, 이동평균 모델, ARIMA 모델, 계절성 분석까지, 각 기법의 수학적 정의와 실제 적용 예를 자세히 설명하겠습니다.

 

1. 마르코프 체인 (Markov Chains)
   •    정의 : 마르코프 체인은 미래의 상태가 오직 현재 상태에만 의존하는 확률 과정입니다. 수학적으로, 마르코프 체인의 상태 에 대해 다음과 같은 조건부 확률이 성립합니다.
   •    수학적 표현 :
   • 예시 : 간단한 날씨 모델을 가정해보겠습니다. 상태는 ‘맑음’, ‘흐림’, ‘비’로 구성됩니다. 맑은 날이 이어지는 확률은 60%, 다음 날 흐려질 확률은 30%, 비가 올 확률은 10%라고 가정할 때, 이를 확률 행렬로 표현할 수 있습니다.

     

     
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2. 푸아송 과정 (Poisson Processes)
   •    정의 : 단위 시간당 평균 λ번 발생하는 사건의 수를 모델링합니다. 사건의 발생은 서로 독립적입니다. 시간 t에서의 사건 수 N(t)는 푸아송 분포를 따릅니다.
   • 수학적 표현 :

     

     
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   • 예시 : 웹사이트에 하루 평균 100회 방문이 일어난다고 할 때, 하루 중 특정 시간에 5번의 방문이 일어날 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

     

     
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3. 자기회귀 모델 (AR)
   • 공식 : p차 자기회귀 모델 AR(p)는 다음과 같이 정의됩니다. 여기서 는 백색 잡음입니다.
     
     
     

     

     
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   •    예시 : 주가의 일일 종가가 AR(1) 모델을 따른다고 가정할 때, 이면, 이전 날의 가격이 오늘의 가격에 큰 영향을 줍니다.
      
4. 이동평균 모델 (MA)
   • 공식 : q차 이동평균 모델 MA(q)은 다음과 같이 정의됩니다.

     

     
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   •    예시 : 잡음이 많은 온도 데이터를 MA(1) 모델로 처리할 경우, 라면 이전의 오차가 오늘의 값을 절반 정도 조정하는 효과를 가집니다.
     
5. ARIMA 모델
   • 공식 : ARIMA(p, d, q) 모델은 AR(p), 차분(d), MA(q)를 결합한 모델로 정의됩니다. 여기서 L은 뒤로 이동 연산자입니다.

     

     
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   •    예시 : 비정상적인 주가 데이터에 ARIMA(1, 1, 1) 모델을 적용할 경우, 데이터를 안정화한 후 예측을 수행할 수 있습니다.
    
6. 계절성 분석
   •    예시 : 매년 겨울에 증가하는 스키 장비 판매 데이터를 분석하여, 다음 시즌의 판매량을 예측할 수 있습니다.

 

 

 

 

마무리하며, 이러한 고급 확률 과정과 시계열 분석 기법은 데이터를 통한 깊은 인사이트 제공과 더 정확한 예측을 가능하게 합니다. 이 포스트가 확률 과정과 시계열 분석의 실제 적용에 대한 이해를 돕기를 바랍니다.

궁금한 점이 있거나 추가 설명이 필요하다면 댓글로 남겨주세요. 함께 배워나가는 과정에서 더욱 풍부한 지식을 얻을 수 있습니다!